Понимание предварительного умножения в линейной алгебре

Предварительное умножение — это матричная операция, которая умножает каждый элемент одной матрицы на соответствующий элемент другой матрицы и обозначается символом «·» или «⋅». Оно также известно как произведение Адамара или произведение Шура.

Более подробно, если у нас есть две матрицы A и B, их предварительное умножение AB определяется следующим образом:

(AB)ij = ∑k=1n AkijBkj

где A — матрица размера n x n , B — матрица размера n x m, а n и m — размеры матриц. В результате получается матрица размера n x m, где каждый элемент в позиции (i, j) представляет собой сумму произведений соответствующих элементов A и B.

Предварительное умножение имеет некоторые полезные свойства, такие как:

* (AB)B = A( BB) = A(A^T) = AA^T
* (AB)^T = B^T A^T = (BA)^T
* (AB) + (AC) = (A+C)B
* (AB) - ( AC) = A(B-C)

Предварительное умножение используется во многих областях линейной алгебры, таких как разложение по собственным значениям, разложение по сингулярным значениям и факторизация матриц. Он также используется в машинном обучении, обработке сигналов и других областях, где матрицы используются для представления данных или преобразований.