Понимание функции Вейерштрасса: руководство по непрерывным в никуда функциям

Функция Вейерштрасса — это математическая функция, которая используется для определения понятия непрерывной функции. Его ввел Карл Вейерштрасс, немецкий математик, в конце 19 века. Функция определяется следующим образом:

f(x) = 0, если x рационально (x = a/b, где a и b — целые числа, а b не равно нулю)

f(x) = 1/x, если x иррационально ( x не может быть выражено как отношение целых чисел)

Функция Вейерштрасса является примером нигде непрерывной функции, то есть у нее нет точек, в которых она непрерывна. Это связано с тем, что функция постоянно меняет свое значение при изменении x, и нет точек, в которых функция всегда определена.

Функция Вейерштрасса имеет несколько важных свойств, в том числе:

1. Оно непрерывно в каждой точке рациональных чисел, но не в любой точке иррациональных чисел.
2. Оно дифференцируемо в каждой точке рациональных чисел, но не в любой точке иррациональных чисел. Оно имеет конечный предел в каждой точке рациональных чисел, но не имеет конечного предела ни в одной точке иррациональных чисел.
4. Она ограничена сверху и снизу функциями 0 и 1/x соответственно.

Функция Вейерштрасса имеет множество приложений в математике, особенно в области реального анализа. Он используется для демонстрации существования нигде не непрерывных функций, то есть функций, у которых нет точек, в которых они непрерывны. Он также имеет приложения в других областях математики, таких как топология и теория меры.