Пространства Маккартана: обобщение многообразий для некоммутативной геометрии

Маккартан — это математическая структура, обобщающая понятие многообразия. Оно было введено Джоном Маккартаном в 1990-х годах как способ изучения некоммутативной геометрии и геометрии пространств с нетривиальной фундаментальной группой.

Пространство Маккартана представляет собой топологическое пространство, оснащенное пучком колец, называемым Маккартаном. пучок, который кодирует геометрию пространства. Пучок Маккартана является обобщением пучка функций на многообразии и включает дополнительную структуру, такую как понятие «дифференциала», которое не обязательно является коммутативным. тривиальная фундаментальная группа, что означает, что пространство не обязательно линейно связно. В этом отличие от многообразий, которые всегда связаны между собой путями. Нетривиальная фундаментальная группа пространства Маккартана позволяет изучать более экзотические геометрические структуры, например, те, которые встречаются в некоммутативной геометрии и геометрии пространств с нетривиальной фундаментальной группой. Пространства Маккартана нашли применение во множестве областей, включая алгебраическую геометрию, теорию чисел и математическую физику. Они дают возможность изучать геометрические объекты, которые не обязательно являются коммутативными, и используются для изучения широкого круга проблем, от геометрии алгебраических многообразий до изучения квантовых теорий поля.