Что такое моноид? Определение, примеры и приложения

Моноид — это математическая структура, состоящая из набора элементов и операции, которая объединяет эти элементы таким образом, чтобы удовлетворять определенным свойствам. Чтобы быть более конкретным, моноид определяется следующим образом:

* Набор `M` элементов, которым может быть что угодно (числа, символы и т. д.).
* Операция `*`, которая принимает два элемента `a` и `b` из `M` и возвращает другой элемент `a * b` также из `M`.

Свойства, которым должна удовлетворять операция:

* Ассоциативность: `(a * b) * c = a * (b * c)` для всех `a`, `b` и `c` в `M`. Это означает, что порядок, в котором мы выполняем операцию, не имеет значения.* Идентичность: существует элемент `e` в `M` такой, что `a * e = e * a = a` для всех `a` в ` М`. Этот элемент называется идентификационным элементом и служит «нейтральным» элементом для операции.
* Обратное: для каждого элемента `a` в `M` существует другой элемент `b` в `M` такой, что ` а*б = б*а = е`. Этот элемент `b` называется обратным к `a`, и он отменяет эффект `a` при объединении с ним.

Например, набор целых чисел с помощью операции сложения образует моноид:

* Набор `M ` — это набор всех целых чисел.
* Операция `*` — это сложение.
* Единичный элемент равен 0, поскольку `a + 0 = a` для любого целого числа `a`.
* Обратный элемент `a ` является `-a`, потому что `a + (-a) = 0`.

Другой пример моноида — это набор всех строк символов с операцией конкатенации:

* Набор `M` — это набор всех строки символов.
* Операция `*` является конкатенацией.
* Элементом идентификации является пустая строка, поскольку `a + "" = a` для любой строки `a`.
* Обратный элемент `a` — это строка, полученная переворачиванием `a`, поскольку `a + ("" + a) = a + a = e`.

Моноиды используются во многих областях математики и информатики, таких как абстрактная алгебра, теория групп и функциональные программирование. Они позволяют описывать симметрию и структуру различных математических объектов и систем и имеют множество приложений в криптографии, теории кодирования и других областях информатики.