Что такое неприводимость в теории категорий?

В теории категорий функтор называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение более простых функторов. Другими словами, функтор является неприводимым, если его нельзя выразить как композицию «более простых» функторов, где простота измеряется количеством морфизмов, участвующих в композиции.

Например, рассмотрим категорию множеств, где единственные морфизмы - это функции между множествами. Тождественный функтор, который просто возвращает набор без изменений, является неприводимым функтором, поскольку его нельзя разложить в произведение более простых функторов. С другой стороны, функтор, который отображает каждое множество в его набор степеней, не является неприводимым, поскольку его можно разложить как произведение более простых функторов: функтора, который отображает каждое множество в его базовый набор, и функтора, который отображает каждое множество в его набор степеней. .

Неприводимость является важным понятием в теории категорий, поскольку оно тесно связано с понятием «примитивных» объектов или «базовых» объектов. В любой категории есть определенные объекты, которые невозможно разложить на более простые объекты, и эти объекты часто называют примитивными или базовыми. Точно так же существуют определенные функторы, которые не могут быть разложены на более простые функторы, и эти функторы часто называют неприводимыми. Оно тесно связано с понятием примитивных или базовых объектов и является важным понятием для понимания структуры категорий.