Эккторы в теории категорий: руководство к пониманию точности функторов

Эккторы - это способ определить понятие «точности» функтора, которое можно использовать для изучения свойств функтора. Идея состоит в том, что функтор «точен» в том смысле, что он сохраняет некоторую структуру, например групповую или кольцевую структуру, а естественное преобразование — это способ измерить, насколько хорошо функтор сохраняет эту структуру.

Например, если у нас есть функтор F: Grp -> Ab, где Grp — категория групп, а Ab — категория абелевых групп, то акктором для F может быть пара (F, ε), где ε — естественное преобразование из F тождественному функтору Id_Ab, такому что ε(g) является гомоморфизмом из F(g) в g для всех объектов g в Grp. Это означает, что F сохраняет групповую структуру объектов в Grp, а ε измеряет, насколько хорошо F сохраняет эту структуру.

Exactors имеют множество приложений в теории категорий, включая изучение пределов и копределов, определение производных функторов и изучение естественные преобразования между функторами. Они также тесно связаны с другими важными понятиями теории категорий, такими как точные последовательности и треугольники.