Förstå kommutatorn av matriser

Kommutatorn för två matriser A och B, betecknade med [A,B], är en matris som representerar resultatet av att tillämpa operationen av en matris på den andra. Specifikt [A,B] = AB -BA. Med andra ord är det skillnaden mellan produkten av A och B, och produkten av B och A.

Till exempel, om vi har två matriser A = [a11, a12; a21, a22] och B = [bll, bl2; b21, b22], då skulle kommutatorn [A,B] = AB -BA vara:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

Kommutatorn för två matriser kan användas för att mäta matrisproduktens misslyckande att pendla. Om kommutatorn är noll, så pendlar matrisprodukten, vilket betyder att ordningen i vilken vi multiplicerar matriserna inte spelar någon roll. Om kommutatorn inte är noll, så pendlar inte matrisprodukten, och ordningen som vi multiplicerar matriserna i spelar roll.

Sammanfattningsvis är kommutatorn för två matriser ett mått på hur väl matrisprodukten pendlar, och kan vara används för att avgöra om produkten är kommutativ eller inte.