Förstå premultiplikation i linjär algebra

Förmultiplikation är en matrisoperation som multiplicerar varje element i en matris med motsvarande element i en annan matris, och betecknas med symbolen "·" eller "⋅". Den är också känd som Hadamard-produkten eller Schur-produkten.

I mer detalj, om vi har två matriser A och B, definieras deras förmultiplikation AB enligt följande:

(AB)ij = ∑k=1n AkijBkj

där A är en n x n matris , B är en n x m matris, och n och m är dimensionerna för matriserna. Resultatet är en n x m matris, där varje element i position (i, j) är summan av produkterna av motsvarande element i A och B.

Premultiplikation har några användbara egenskaper, såsom:

* (AB)B = A( BB) = A(A^T) = AA^T
* (AB)^T = B^T A^T = (BA)^T
* (AB) + (AC) = (A+C)B
* (AB) - ( AC) = A(B-C)

Premultiplikation används inom många områden av linjär algebra, såsom egenvärdesuppdelning, singularvärdesuppdelning och matrisfaktorisering. Det används också inom maskininlärning, signalbehandling och andra områden där matriser används för att representera data eller transformationer.