Vad är en icke-trivial funktion i kategoriteori?

I kategoriteorin kallas en funktion för "icke-trivial" eller "icke-hållbar" om den inte är en ekvivalensrelation. Med andra ord, om funktorn inte bevarar likheten mellan morfismer, är den icke-trivial.

Betrakta till exempel kategorin av mängder, där morfismerna är funktioner mellan mängder. Identitetsfunktorn, som helt enkelt mappar varje uppsättning till sig själv och varje funktion till sig själv, är en trivial funktor eftersom den bevarar alla morfismer. Å andra sidan är funktorn som mappar varje uppsättning till sin powerset och varje funktion till sin invers icke-trivial eftersom den inte bevarar jämlikheten mellan morfismer.

I allmänhet kan en icke-trivial funktion betraktas som en "icke-trivial" transformation mellan kategorier, vilket ändrar den underliggande strukturen för kategorin på något sätt.