Vad är en monooid? Definition, exempel och tillämpningar

En monoid är en matematisk struktur som består av en uppsättning element och en operation som kombinerar dessa element på ett sätt som uppfyller vissa egenskaper.

För att vara mer specifik definieras en monoid enligt följande:

* En uppsättning "M" av element, som kan vara vad som helst (siffror, symboler, etc.).
* En operation `*` som tar två element `a` och `b` från `M` och returnerar ett annat element `a * b` också i `M`.

De egenskaper som operationen måste uppfylla är:

* Associativitet: `(a * b) * c = a * (b * c)` för alla `a`, `b` och `c` i `M`. Det betyder att ordningen i vilken vi utför operationen inte spelar någon roll.
* Identitet: Det finns ett element `e` i `M` så att `a * e = e * a = a` för alla `a` i ` M`. Detta element kallas identitetselementet, och det fungerar som ett "neutralt" element för operationen.
* Invers: För varje element `a` i `M` finns det ett annat element `b` i `M` så att ` a * b = b * a = e`. Detta element `b` kallas inversen av `a`, och det upphäver effekten av `a` när det kombineras med det.

Till exempel bildar mängden heltal med operationen addition en monoid:

* Mängden 'M ` är mängden av alla heltal.
* Operationen `*` är addition.
* Identitetselementet är 0, eftersom `a + 0 = a` för ett heltal `a`.
* Inversen av ett element `a ` är `-a`, eftersom `a + (-a) = 0`.

Ett annat exempel på en monoid är mängden av alla teckensträngar med operationen sammanlänkning:

* Mängden `M` är mängden av alla strängar av tecken.
* Operationen `*` är sammanlänkning.
* Identitetselementet är den tomma strängen, eftersom `a + "" = a` för valfri sträng `a`.
* Inversen av ett element `a` är strängen som erhålls genom att vända på `a`, eftersom `a + ("" + a) = a + a = e`.

Monoider används inom många områden inom matematik och datavetenskap, såsom abstrakt algebra, gruppteori och funktionell programmering. De ger ett sätt att beskriva symmetri och struktur i olika matematiska objekt och system, och de har många tillämpningar inom kryptografi, kodningsteori och andra områden inom datavetenskap.