Vad är irreducerbarhet i kategoriteori?

I kategoriteorin kallas en funktor irreducerbar om den inte kan brytas ned som en produkt av enklare funktorer. En funktor är med andra ord irreducerbar om den inte kan uttryckas som en sammansättning av "enklare" funktorer, där enkelhet mäts i termer av antalet morfismer som är inblandade i sammansättningen. de enda morfismerna är funktioner mellan mängder. Identitetsfunktorn, som helt enkelt returnerar mängden oförändrad, är en irreducerbar funktion eftersom den inte kan brytas ned som en produkt av enklare funktioner. Å andra sidan är funktorn som mappar varje uppsättning till dess powerset inte irreducerbar eftersom den kan dekomponeras som en produkt av enklare funktorer: funktorn som mappar varje uppsättning till dess underliggande uppsättning, och funktorn som mappar varje uppsättning till sin powerset .

Ireduktivitet är ett viktigt begrepp inom kategoriteorin eftersom det är nära relaterat till begreppet "primitiva" objekt eller "grundläggande" objekt. I vilken kategori som helst finns det vissa objekt som inte kan dekomponeras till enklare objekt, och dessa objekt kallas ofta för primitiva eller grundläggande. På liknande sätt finns det vissa funktorer som inte kan dekomponeras till enklare funktorer, och dessa funktorer kallas ofta för irreductible.

I sammanfattning är irreductibility ett begrepp inom kategoriteorin som syftar på tanken att vissa funktorer inte kan dekomponeras till enklare funktorer. Det är nära besläktat med föreställningen om primitiva eller grundläggande objekt, och det är ett viktigt begrepp för att förstå kategoriernas struktur.