Monoid nedir? Tanım, Örnekler ve Uygulamalar

Monoid, bir dizi öğeden ve bu öğeleri belirli özellikleri sağlayacak şekilde birleştiren bir işlemden oluşan matematiksel bir yapıdır.

Daha spesifik olmak gerekirse, bir monoid şu şekilde tanımlanır:

* Öğelerden oluşan bir 'M' kümesi, herhangi bir şey olabilir (sayılar, semboller, vb.).
* "M"den iki "a" ve "b" öğesini alan ve yine "M"de başka bir "a * b" öğesi döndüren bir "*" işlemi.

İşlemin karşılaması gereken özellikler şunlardır:

* İlişkisellik: 'M'deki tüm 'a', 'b' ve 'c' için '(a * b) * c = a * (b * c)'. Bu, işlemi gerçekleştirdiğimiz sıranın önemli olmadığı anlamına gelir.
* Kimlik: `M'de bir `e` öğesi vardır, öyle ki `deki tüm `a`lar için `a * e = e * a = a` M'. Bu öğeye kimlik öğesi denir ve işlem için "nötr" bir öğe olarak hizmet eder.
* Tersi: 'M'deki her bir 'a' öğesi için, 'M'de başka bir 'b' öğesi vardır, öyle ki ` a * b = b * a = e`. Bu 'b' elemanına 'a'nın tersi denir ve onunla birleştirildiğinde 'a'nın etkisini geri alır.

Örneğin, toplama işlemiyle tamsayılar kümesi bir monoid oluşturur:

* `M kümesi ` tüm tamsayıların kümesidir.
* `*` işlemi toplamadır.
* Kimlik öğesi 0'dır, çünkü herhangi bir `a` tamsayısı için `a + 0 = a`.
* `a' öğesinin tersi ` -a'dır, çünkü `a + (-a) = 0`.

Monoid'in başka bir örneği, birleştirme işlemiyle tüm karakter dizilerinin kümesidir:

* `M' kümesi tüm karakter dizilerinin kümesidir karakter dizileri.
* `*` işlemi birleştirmedir.
* Kimlik öğesi boş dizedir, çünkü herhangi bir `a` dizisi için `a + "" = a`.
* Bir `a` öğesinin tersi `a`nın ters çevrilmesiyle elde edilen dizedir, çünkü `a + ("" + a) = a + a = e`.

Monoidler soyut cebir, grup teorisi ve fonksiyonel gibi matematik ve bilgisayar biliminin birçok alanında kullanılır. programlama. Çeşitli matematiksel nesnelerde ve sistemlerde simetriyi ve yapıyı tanımlamanın bir yolunu sağlarlar ve kriptografi, kodlama teorisi ve bilgisayar biliminin diğer alanlarında birçok uygulamaya sahiptirler.