Простори Маккартана: узагальнення многовидів для некомутативної геометрії

Маккартан — це математична структура, яка узагальнює поняття багатоманітності. Він був представлений Джоном МакКартаном у 1990-х роках як спосіб вивчення некомутативної геометрії та геометрії просторів з нетривіальною фундаментальною групою.

Простір МакКартана — це топологічний простір, оснащений пучком кілець, який називається МакКартаном сніп, в якому закодована геометрія простору. Пучок Маккартана є узагальненням пучка функцій на многовиді, і він включає додаткову структуру, таку як поняття «диференціал», який не обов’язково є комутативним.

Однією з ключових особливостей просторів Маккартана є те, що вони можуть мати не- тривіальна фундаментальна група, що означає, що простір не обов'язково є зв'язаним шляхом. Це на відміну від різновидів, які завжди з’єднані шляхом. Нетривіальна фундаментальна група простору Маккартана дозволяє вивчати більш екзотичні геометричні структури, такі як ті, що зустрічаються в некомутативної геометрії та геометрії просторів з нетривіальною фундаментальною групою.

Простори Маккартана знайшли застосування в різноманітних галузей, включаючи алгебраїчну геометрію, теорію чисел і математичну фізику. Вони забезпечують спосіб вивчення геометричних об’єктів, які не обов’язково є комутативними, і їх використовували для вивчення широкого кола проблем, від геометрії алгебраїчних різновидів до вивчення квантових теорій поля.