Розуміння попереднього множення в лінійній алгебрі

Попереднє множення — це матрична операція, яка множить кожен елемент однієї матриці на відповідний елемент іншої матриці та позначається символом «·» або «⋅». Він також відомий як добуток Адамара або добуток Шура.

Більш детально, якщо ми маємо дві матриці A і B, їхнє попереднє множення AB визначається таким чином:

(AB)ij = ∑k=1n AkijBkj

де A є матрицею n x n. , B — матриця n x m, а n і m — розміри матриць. Результатом є матриця n x m, де кожен елемент у позиції (i, j) є сумою добутків відповідних елементів A і B.

Попереднє множення має деякі корисні властивості, наприклад:

* (AB)B = A( BB) = A(A^T) = AA^T
* (AB)^T = B^T A^T = (BA)^T
* (AB) + (AC) = (A+C)B
* (AB) - ( AC) = A(B-C)

Попереднє множення використовується в багатьох областях лінійної алгебри, таких як розклад на власні значення, розклад за сингулярним значенням і матрична факторізація. Він також використовується в машинному навчанні, обробці сигналів та інших областях, де матриці використовуються для представлення даних або перетворень.