Розуміння субдистинктивності в теорії типів і теорії гомотопічних типів

У контексті теорії типів і теорії гомотопічних типів Володимир Воєводський і його співробітники запровадили поняття «субвідмінності».

Грубо кажучи, відмінність типу є мірою того, наскільки тип виділяється з інші типи в тому сенсі, що він має багато структури, яка не є спільною з іншими типами. Наприклад, тип `Nat` (натуральні числа) є дуже характерним, оскільки він має багато структури, яка не є спільною з іншими типами, як-от той факт, що це лінійний порядок і що він має функцію наступника.

На з іншого боку, тип `Set` (множини) є менш характерним, тому що він не має стільки структури, яка не є спільною з іншими типами. Фактично, `Set` часто вважається "універсальним" типом у тому сенсі, що його можна використовувати для кодування будь-якого іншого типу, що означає, що він не має стільки унікальної структури.

Субвідмінність Тип є показником того, наскільки тип схожий на інші типи в тому сенсі, що він має меншу структуру, яка не є спільною з іншими типами. Наприклад, тип `Fin Nat` (кінцеві натуральні числа) є менш характерним, ніж `Nat`, тому що він має менше структур, які не є спільними з іншими типами. Фактично, `Fin Nat` можна вважати «особливим випадком» `Nat` у тому сенсі, що це підмножина `Nat` і має менше елементів.

Субвідмінність типу можна виміряти за допомогою різноманітності методів, таких як розмір типу, кількість структур, які має тип, тощо. Наприклад, тип `Fin Nat` є менш відмітним, ніж `Nat`, оскільки він має менший розмір (він містить лише кінцеві натуральні числа) і він має менше структур (він не має функції наступника).

Загалом, концепція субвідмінності корисна для розуміння зв’язків між різними типами в теорії типів, і її можна використовувати для міркувань про властивості типи та їхні зв’язки з іншими типами. Наприклад, можна використовувати поняття субвідмінності, щоб довести, що певні типи «по суті» такі ж, як інші типи, або щоб показати, що певні типи «по суті» відрізняються від інших типів.