Розуміння функції Вейєрштрасса: Посібник із безперервних функцій

Функція Вейєрштрасса — це математична функція, яка використовується для визначення поняття неперервної функції. Його ввів німецький математик Карл Вейерштрасс наприкінці 19 століття. Функція визначається таким чином:

f(x) = 0, якщо x раціональний (x = a/b, де a і b цілі числа, а b відмінне від нуля)

f(x) = 1/x, якщо x ірраціональний ( x не можна виразити як відношення цілих чисел)

Функція Вейєрштрасса є прикладом ніде неперервної функції, що означає, що вона не має точок, у яких вона є неперервною. Це пояснюється тим, що функція постійно змінює своє значення зі зміною x, і немає точок, у яких функція завжди визначена.

Функція Вейєрштрасса має кілька важливих властивостей, зокрема:

1. Він неперервний у кожній точці раціональних чисел, але не в будь-якій точці ірраціональних чисел.
2. Воно диференційовне в кожній точці раціональних чисел, але не в будь-якій точці ірраціональних чисел.
3. Він має кінцеву межу в кожній точці раціональних чисел, але не має кінцевої межі в жодній точці ірраціональних чисел.
4. Вона обмежена зверху та знизу функціями 0 та 1/x відповідно.

Функція Вейєрштрасса має багато застосувань у математиці, зокрема в галузі реального аналізу. Він використовується для демонстрації існування неперервних ніде функцій, які не мають точок, у яких вони неперервні. Він також має застосування в інших областях математики, таких як топологія та теорія міри.