Що таке моноїд? Визначення, приклади та застосування

Моноїд — це математична структура, яка складається з набору елементів і операції, яка поєднує ці елементи таким чином, що задовольняє певні властивості.

Щоб бути більш конкретним, моноїд визначається так:

* Набір `M` елементів, який може бути чим завгодно (числа, символи тощо).
* Операція `*`, яка бере два елементи `a` і `b` з `M` і повертає інший елемент `a * b` також у `M`.

Властивості, яким має задовольняти операція:

* Асоціативність: `(a * b) * c = a * (b * c)` для всіх `a`, `b` і `c` в `M`. Це означає, що порядок, у якому ми виконуємо операцію, не має значення.
* Ідентичність: існує елемент `e` в `M` такий, що `a * e = e * a = a` для всіх `a` в ` М`. Цей елемент називається елементом ідентичності, і він служить «нейтральним» елементом для операції.
* Зворотне: для кожного елемента `a` в `M` існує інший елемент `b` в `M` такий, що ` a * b = b * a = e`. Цей елемент `b` називається оберненим до `a`, і він скасовує дію `a` у поєднанні з ним.

Наприклад, набір цілих чисел за допомогою операції додавання утворює моноїд:

* Набір `M ` є множиною всіх цілих чисел.
* Операція `*` є додаванням.
* Ідентифікаційний елемент дорівнює 0, тому що `a + 0 = a` для будь-якого цілого `a`.
* Обернена до елемента `a ` є `-a`, оскільки `a + (-a) = 0`.

Іншим прикладом моноїду є набір усіх рядків символів з операцією конкатенації:

* Набір `M` - це набір усіх рядки символів.
* Операція `*` є конкатенацією.
* Ідентифікаційним елементом є порожній рядок, оскільки `a + "" = a` для будь-якого рядка `a`.
* Інверсія елемента `a` це рядок, отриманий інвертуванням `a`, тому що `a + ("" + a) = a + a = e`.

Моноїди використовуються в багатьох областях математики та інформатики, таких як абстрактна алгебра, теорія груп і функціонал програмування. Вони забезпечують спосіб опису симетрії та структури в різних математичних об’єктах і системах, і вони мають багато застосувань у криптографії, теорії кодування та інших областях інформатики.