Що таке нетривіальний функтор у теорії категорій?

У теорії категорій функтор називають «нетривіальним» або «недостатнім», якщо він не є відношенням еквівалентності. Іншими словами, якщо функтор не зберігає рівності морфізмів, то він є нетривіальним.

Наприклад, розглянемо категорію множин, де морфізми є функціями між множинами. Тотожний функтор, який просто відображає кожну множину в себе і кожну функцію в себе, є тривіальним функтором, оскільки він зберігає всі морфізми. З іншого боку, функтор, який відображає кожну множину в її степеневий набір і кожну функцію в її обернену, є нетривіальним, оскільки він не зберігає рівність морфізмів.

Загалом, нетривіальний функтор можна розглядати як «нетривіальне» перетворення між категоріями, що певним чином змінює основну структуру категорії.