理解线性代数中的预乘

预乘是将一个矩阵的每个元素与另一个矩阵的相应元素相乘的矩阵运算，用符号“·”或“·”表示。它也称为 Hadamard 积或 Schur 积。更详细地说，如果我们有两个矩阵 A 和 B，它们的预乘 AB 定义如下：

(AB)ij = Σk=1n AkijBkj

其中 A 是 n x n 矩阵, B 是一个 n x m 矩阵，n 和 m 是矩阵的维度。结果是一个 n x m 矩阵，其中位置 (i, j) 处的每个元素是 A 和 B 相应元素的乘积之和。预乘有一些有用的属性，例如：

* (AB)B = A( BB) = A(A^T) = AA^T
* (AB)^T = B^T A^T = (BA)^T
* (AB) + (AC) = (A+C)B
* (AB) - ( AC) = A(B-C)

预乘法用于线性代数的许多领域，例如特征值分解、奇异值分解和矩阵分解。它还用于机器学习、信号处理和其他使用矩阵表示数据或转换的领域。