麦卡坦空间：非交换几何流形的推广

麦卡坦是一种概括了流形概念的数学结构。它由约翰·麦卡坦 (John McCartan) 在 20 世纪 90 年代提出，作为研究非交换几何和具有非平凡基本群的空间几何的一种方法。麦卡坦空间是一个配备有一束环的拓扑空间，称为麦卡坦束，编码空间的几何形状。麦卡坦束是流形上函数束的概括，它包括附加结构，例如不一定可交换的“微分”概念。麦卡坦空间的关键特征之一是它们可以具有非-平凡基本群，这意味着空间不一定是路径连通的。这与流形相反，流形始终是路径连接的。麦卡坦空间的非平凡基本群允许研究更奇特的几何结构，例如非交换几何中发现的几何结构以及具有非平凡基本群的空间几何结构。麦卡坦空间已在各种领域中找到应用领域，包括代数几何、数论和数学物理。它们提供了一种研究不一定可交换的几何对象的方法，并且已被用于研究广泛的问题，从代数簇的几何到量子场论的研究。