Kategoriateorian tutkijat: Opas funktioiden täsmällisyyden ymmärtämiseen

Eksaktorit ovat tapa määritellä funktorin "tarkkuuden" käsite, jota voidaan käyttää funktorin ominaisuuksien tutkimiseen.

Eksaktori on funktorin pari ja luonnollinen muunnos sen ja identiteettifunktionaalin välillä. Ajatuksena on, että funktori on "tarkka" siinä mielessä, että se säilyttää jonkinlaisen rakenteen, kuten ryhmä- tai rengasrakenteen, ja luonnollinen muunnos on tapa mitata kuinka hyvin funktori säilyttää tämän rakenteen.

Esimerkiksi jos meillä on funktori F: Grp -> Ab, missä Grp on ryhmien luokka ja Ab on Abelin ryhmien luokka, niin F:n eksaktori voi olla pari (F, ε), jossa ε on luonnollinen muunnos F:stä identiteettifunktioon Id_Ab siten, että ε(g) on homomorfismi F(g):stä g:hen kaikille Grp:n objekteille g. Tämä tarkoittaa, että F säilyttää Grp:n objektien ryhmärakenteen ja ε mittaa, kuinka hyvin F säilyttää tämän rakenteen.

Eksaktoreilla on monia sovelluksia kategoriateoriassa, mukaan lukien rajojen ja koliittien tutkiminen, johdettujen funktioiden määrittely ja funktioiden tutkiminen. luonnollisia muutoksia funktioiden välillä. Ne liittyvät myös läheisesti muihin luokkateorian tärkeisiin käsitteisiin, kuten tarkat sekvenssit ja kolmiot.