Matriisien kommutaattorin ymmärtäminen

Kahden matriisin A ja B kommutaattori, jota merkitään [A,B], on matriisi, joka edustaa tulosta, kun yhden matriisin operaatiota sovelletaan toiseen. Tarkemmin sanottuna [A,B] = AB-BA. Toisin sanoen se on ero A:n ja B:n tulon sekä B:n ja A:n tulon välillä.

Esimerkiksi jos meillä on kaksi matriisia A = [a11, a12; a21, a22] ja B = [b11, b12; b21, b22], silloin kommutaattori [A,B] = AB -BA olisi:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

Kahden matriisin kommutaattoria voidaan käyttää mittaamaan matriisitulon epäonnistumista kommuteissa. Jos kommutaattori on nolla, matriisitulo kommutoidaan, mikä tarkoittaa, että järjestyksellä, jossa matriisit kerromme, ei ole väliä. Jos kommutaattori on muu kuin nolla, matriisitulo ei kommutoi, ja järjestyksellä, jossa matriisit kerromme, on väliä.

Yhteenvetona voidaan todeta, että kahden matriisin kommutaattori on mitta siitä, kuinka hyvin matriisitulo kommutoi, ja se voi olla käytetään määrittämään, onko tuote kommutiivinen vai ei.