Mikä on monoidi? Määritelmä, esimerkit ja sovellukset

Monoidi on matemaattinen rakenne, joka koostuu joukosta elementtejä ja operaatiosta, joka yhdistää nämä elementit tavalla, joka täyttää tietyt ominaisuudet.

Tarkemmin sanottuna monoidi määritellään seuraavasti:

* Elementtien joukko "M", joka voi olla mitä tahansa (numeroita, symboleja jne.).
* Toiminto *, joka ottaa kaksi elementtiä "a" ja "b" kirjasta "M" ja palauttaa toisen elementin "a * b", myös "M":ssä.

Ominaisuudet, jotka toiminnon on täytettävä, ovat:

* Assosiatiivisuus: "(a * b) * c = a * (b * c)" kaikille "a":n, "b" ja "c":n "M":lle. Tämä tarkoittaa, että järjestyksellä, jossa suoritamme toiminnon, ei ole väliä.
* Identiteetti: "M":ssä on elementti "e", jolloin "a * e = e * a = a" kaikille "a"-elementeille M`. Tätä elementtiä kutsutaan identiteettielementiksi, ja se toimii "neutraalina" elementtinä toiminnalle.
* Käänteinen: Jokaiselle M:n elementille "a" on olemassa toinen elementti "b" M:ssä, jolloin " a * b = b * a = e". Tätä elementtiä "b" kutsutaan "a":n käänteiseksi, ja se kumoaa "a":n vaikutuksen, kun se yhdistetään siihen.

Esimerkiksi kokonaislukujen joukko, jossa on yhteenlaskutoiminto, muodostaa monoidin:

* Joukko M ` on kaikkien kokonaislukujen joukko.
* Operaatio `*` on yhteenlasku.
* Identiteettielementti on 0, koska `a + 0 = a` mille tahansa kokonaisluvulle `a`.
* Elementin `a käänteisluku ` on `-a`, koska `a + (-a) = 0`.

Toinen esimerkki monoidista on kaikkien merkkijonojen joukko ketjutusoperaatiolla:

* Joukko `M' on kaikkien merkkijonojen joukko merkkijonot.
* Operaatio `*` on ketjutus.
* Identiteettielementti on tyhjä merkkijono, koska `a + "" = a` mille tahansa merkkijonolle `a`.
* Elementin `a` käänteisarvo on merkkijono, joka saadaan kääntämällä `a`, koska `a + ("" + a) = a + a = e`.

Monoideja käytetään monilla matematiikan ja tietojenkäsittelytieteen aloilla, kuten abstraktissa algebrassa, ryhmäteoriassa ja funktionaalisessa ohjelmointi. Ne tarjoavat tavan kuvata symmetriaa ja rakennetta erilaisissa matemaattisissa kohteissa ja järjestelmissä, ja niillä on monia sovelluksia kryptografiassa, koodausteoriassa ja muilla tietojenkäsittelytieteen aloilla.