Mikä on polytooppi? Määritelmä, tyypit ja sovellukset

Polytooppi on geometrinen objekti, joka määritellään joukoksi kaikkia pisteitä, jotka täyttävät lineaarisen yhtälön joukon. Se on monikulmion tai polyhedronin yleistys, jotka ovat polytooppien erikoistapauksia.

Tarkemmin sanottuna polytooppi on kupera pisteiden joukko n-ulotteisessa avaruudessa, joka määritellään n lineaarisen yhtälön joukolla n tuntemattomassa. Yhtälöt kirjoitetaan yleensä muodossa:

a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = 0

missä x1, x2, ..., xn ovat polytoopin pisteiden muuttujia (tai koordinaatteja), ja a1, a2, ..., an ovat vakioita, jotka määräävät polytoopin muodon. Näiden yhtälöiden ratkaisut ovat pisteet, jotka sijaitsevat polytoopin päällä tai sisällä.

On olemassa monia erilaisia polytooppeja, mukaan lukien:

* Simplex: Simpleksi on kolmion tai tetraedrin yleistys korkeampiin ulottuvuuksiin. Se määritellään n:llä lineaarisella yhtälöllä n:ssä tuntemattomassa, ja sillä on n+1 kärkeä.
* Kartio: Kartio on polytooppi, joka kapenee toisesta päästään pisteeseen. Se määritellään lineaarisilla yhtälöillä, jotka sisältävät vain yhden muuttujan.
* Pyramidi: Pyramidi on polytooppi, jolla on kanta ja huippu. Se määritellään lineaarisilla yhtälöillä, jotka sisältävät vain yhden muuttujan.
* Prisma: Prisma on polytooppi, jolla on kaksi kantaa ja korkeus. Se määritellään lineaarisilla yhtälöillä, jotka sisältävät vain yhden muuttujan. Polytoopeilla on monia sovelluksia matematiikassa, tietojenkäsittelytieteessä ja tekniikassa. Niitä käytetään monimutkaisten järjestelmien mallintamiseen, funktioiden optimointiin ja geometriaan ja kombinatoriikkaan liittyvien ongelmien ratkaisemiseen.

Tässä on joitain esimerkkejä polytoopeista:

* Simpleksi on yksiulotteinen polytooppi, joka koostuu yhdestä pisteestä.
* Kolmio on 2 -ulotteinen polytooppi, joka koostuu kolmesta kärjestä.
* Tetraedri on 3-ulotteinen polytooppi, joka koostuu neljästä kärjestä.
* Kuutio on 4-ulotteinen polytooppi, joka koostuu kuudesta neliöpinnasta.
* Dodekaedri on 12- dimensiopolytooppi, joka koostuu 12 viisikulmaisesta pinnasta.

Yhteenvetona voidaan todeta, että polytooppi on geometrinen objekti, joka määritellään lineaarisilla yhtälöillä n:ssä tuntemattomassa, ja sillä on monia sovelluksia matematiikassa, tietojenkäsittelytieteessä ja tekniikassa.