Mikä on sivutuote kategoriateoriassa?

Sivutuote on matemaattinen rakennelma, joka yleistää tuotteen käsitteen kategoriassa. Se on tapa yhdistää kaksi kohdetta kategoriassa uudeksi objektiksi, samalla tavalla kuin karteesinen tuote yhdistää kaksi joukkoa uudeksi joukoksi.

Luokassa C yhteistulo on objektipari A ja B sekä morfismi. (kutsutaan "yhteisprojektioksi") A:sta B:hen siten, että jokainen morfismi A:sta C:hen voidaan ottaa huomioon tämän yhteisprojektion kautta. Toisin sanoen jokainen nuoli A:sta C:hen voidaan kirjoittaa yhteisprojektion yhdistelmäksi, jota seuraa jokin muu nuoli.

Tässä on joitain yhteistulojen keskeisiä ominaisuuksia:

1. Olemassaolo: Sivutuotteita on missä tahansa luokassa, jossa on pääteobjekti (objekti, joka ei ole minkään nuolen lähde). Erityisesti jokaisessa kategoriassa on pääteobjekti, joka on usein merkitty numerolla 1 tai I.
2. Universaali ominaisuus: Yhteisprojektio A:sta B:hen on universaali siinä mielessä, että se on "paras" tapa erottaa nuoli A:sta C:hen. Tarkemmin sanottuna, jos on kaksi morfismia A:sta C:hen, yksi voidaan ottaa huomioon yhteisprojektio, mutta toinen ei voi.
3. Assosiatiivisuus: Sivutuotteet ovat assosiatiivisia, mikä tarkoittaa, että (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C). Tämä tarkoittaa, että voimme yhdistää useita yhteistuotteita haluamassamme järjestyksessä.
4. Jakavuus: Sivutuotteet jakautuvat tuotteille, mikä tarkoittaa, että A ⊕ (B × C) = (A ⊕ B) × (A ⊕ C). Tämä antaa meille mahdollisuuden käyttää sivutuotteita monimutkaisempien rakenteiden rakentamiseen yksinkertaisemmista rakenteista.

Käsituotteita käytetään monilla matematiikan aloilla, mukaan lukien luokkateoria, homologinen algebra ja nivelteoria. Ne tarjoavat tavan rakentaa uusia objekteja yhdistämällä olemassa olevia, ja niillä on monia mielenkiintoisia ominaisuuksia ja sovelluksia.