Mitä on redusoitumattomuus kategoriateoriassa?

Kategoriteoriassa funktoria kutsutaan redusoitumattomaksi, jos sitä ei voida hajottaa yksinkertaisempien funktoreiden tulona. Toisin sanoen funktori on redusoitumaton, jos sitä ei voida ilmaista "yksinkertaisempien" funktionaalisten funktioiden koostumuksena, jossa yksinkertaisuus mitataan koostumukseen liittyvien morfismien lukumäärällä.

Otetaan esimerkiksi joukkojen luokka, jossa ainoat morfismit ovat joukkojen välisiä funktioita. Identiteettifunktionaali, joka yksinkertaisesti palauttaa joukon muuttumattomana, on redusoitumaton funktori, koska sitä ei voida hajottaa yksinkertaisempien funktioiden tulona. Toisaalta funtori, joka kuvaa jokaisen joukon sen potenssijoukkoon, ei ole redusoitumaton, koska se voidaan hajottaa yksinkertaisempien funktionaalisten funktioiden tuloksi: funtori, joka kartoittaa jokaisen joukon sen taustalla olevaan joukkoon, ja funtori, joka kuvaa jokaisen joukon sen potenssijoukkoon. .

Iredukoitavuus on tärkeä käsite kategoriateoriassa, koska se liittyy läheisesti "primitiivisten" tai "perus"-objektien käsitteeseen. Missä tahansa kategoriassa on tiettyjä objekteja, joita ei voida hajottaa yksinkertaisempiin objekteihin, ja näitä objekteja kutsutaan usein primitiivisiksi tai perusiksi. Samoin on tiettyjä funktoreita, joita ei voida hajottaa yksinkertaisemmiksi funktoreiksi, ja näitä funktoreita kutsutaan usein irreducioitumattomiksi. Yhteenvetona voidaan todeta, että irreduktiivisuus on luokkateorian käsite, joka viittaa ajatukseen, että joitain funktoreita ei voida hajottaa yksinkertaisemmiksi funktoreiksi. Se liittyy läheisesti primitiivisten eli perusobjektien käsitteeseen, ja se on tärkeä käsite kategorioiden rakenteen ymmärtämisessä.