Comprendere il commutatore delle matrici

Il commutatore di due matrici A e B, indicato con [A,B], è una matrice che rappresenta il risultato dell'applicazione dell'operazione di una matrice all'altra. Nello specifico, [A,B] = AB -BA. In altre parole, è la differenza tra il prodotto di A e B e il prodotto di B e A.

Ad esempio, se abbiamo due matrici A = [a11, a12; a21, a22] e B = [b11, b12; b21, b22], allora il commutatore [A,B] = AB -BA sarebbe:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

Il commutatore di due matrici può essere utilizzato per misurare la mancata commutazione del prodotto della matrice. Se il commutatore è zero, allora il prodotto della matrice commuta, il che significa che l'ordine in cui moltiplichiamo le matrici non ha importanza. Se il commutatore è diverso da zero, allora il prodotto della matrice non commuta e l'ordine in cui moltiplichiamo le matrici ha importanza.

In sintesi, il commutatore di due matrici è una misura di quanto bene commuta il prodotto della matrice e può essere serve per determinare se il prodotto è commutativo o meno.