Comprendere la funzione Weierstrass: una guida alle funzioni continue da nessuna parte

La funzione di Weierstrass è una funzione matematica utilizzata per definire il concetto di funzione continua. Fu introdotto da Karl Weierstrass, un matematico tedesco, alla fine del XIX secolo. La funzione è definita come segue:

f(x) = 0 se x è razionale (x = a/b, dove a e b sono numeri interi e b è diverso da zero)

f(x) = 1/x se x è irrazionale ( x non può essere espresso come rapporto tra numeri interi)

La funzione di Weierstrass è un esempio di una funzione che non è continua, il che significa che non ha punti in cui è continua. Questo perché la funzione cambia costantemente il suo valore al variare di x e non ci sono punti in cui la funzione è definita in ogni momento.

La funzione Weierstrass ha diverse proprietà importanti, tra cui:

1. È continua in ogni punto dei numeri razionali, ma non in nessun punto dei numeri irrazionali.
2. È differenziabile in ogni punto dei numeri razionali, ma non in nessun punto dei numeri irrazionali.
3. Ha un limite finito in ogni punto dei numeri razionali, ma non ha un limite finito in nessun punto dei numeri irrazionali.
4. È delimitata sopra e sotto rispettivamente dalle funzioni 0 e 1/x.

La funzione di Weierstrass ha molte applicazioni in matematica, in particolare nel campo dell'analisi reale. Viene utilizzato per dimostrare l'esistenza di funzioni continue da nessuna parte, ovvero funzioni che non hanno punti in cui sono continue. Ha applicazioni anche in altri settori della matematica, come la topologia e la teoria della misura.