Comprendere la premoltiplicazione in algebra lineare

La premoltiplicazione è un'operazione di matrice che moltiplica ciascun elemento di una matrice per l'elemento corrispondente di un'altra matrice ed è indicata con il simbolo "·" o "⋅". È noto anche come prodotto Hadamard o prodotto Schur.

Più in dettaglio, se abbiamo due matrici A e B, la loro premoltiplicazione AB è definita come segue:

(AB)ij = ∑k=1n AkijBkj

dove A è una matrice n x n , B è una matrice n x m e n e m sono le dimensioni delle matrici. Il risultato è una matrice n x m, dove ciascun elemento nella posizione (i, j) è la somma dei prodotti degli elementi corrispondenti di A e B.

La premoltiplicazione ha alcune proprietà utili, come:

* (AB)B = A( BB) = A(A^T) = AA^T
* (AB)^T = B^T A^T = (BA)^T
* (AB) + (AC) = (A+C)B
* (AB) - ( AC) = A(B-C)

La premoltiplicazione viene utilizzata in molte aree dell'algebra lineare, come la scomposizione degli autovalori, la scomposizione dei valori singolari e la fattorizzazione di matrici. Viene utilizzato anche nell'apprendimento automatico, nell'elaborazione dei segnali e in altri campi in cui le matrici vengono utilizzate per rappresentare dati o trasformazioni.