Cos'è la numerabilità nella teoria degli insiemi?
La numerabilità è una proprietà degli insiemi che afferma che l'insieme può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. In altre parole, se possiamo accoppiare ogni elemento dell'insieme con un numero naturale univoco, allora l'insieme è numerabile.
Ad esempio, l'insieme di tutti i numeri naturali è numerabile perché possiamo accoppiare ciascun numero naturale con un numero intero univoco. Anche l’insieme dei numeri razionali è numerabile per lo stesso motivo. D'altra parte, l'insieme di tutti i numeri reali non è numerabile perché ci sono innumerevoli numeri reali e non c'è modo di accoppiare ciascun numero reale con un numero naturale unico.
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Un insieme si dice numerabile se può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. In altre parole, se possiamo accoppiare ogni elemento dell'insieme con un numero naturale univoco, allora l'insieme è numerabile.
Ad esempio, l'insieme di tutti gli interi è numerabile perché possiamo accoppiare ogni intero con un numero naturale univoco: $1$ con il numero $1$, $2$ con il numero $2$ e così via.
D'altra parte, l'insieme di tutti i numeri reali non è numerabile perché ci sono innumerevoli numeri reali e non c'è modo di accoppiare ciascun numero reale con un numero naturale unico.
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Nel contesto della teoria degli insiemi, un insieme si dice numerabile se la sua cardinalità (cioè il numero di elementi che contiene) è un numero infinito numerabile. Ciò significa che l'insieme può essere ben ordinato, cioè ha un ordine totale tale che ogni sottoinsieme non vuoto ha un elemento minimo.
Ad esempio, l'insieme dei numeri naturali è numerabile perché può essere ben ordinato: possiamo elenca tutti i numeri naturali in una sequenza e ogni sottoinsieme non vuoto (come l'insieme dei numeri pari o l'insieme dei multipli di 3) ha un elemento minimo.
D'altra parte, l'insieme dei numeri reali non è numerabile perché non può essere ben ordinato. Non esiste un ordine totale dei numeri reali che soddisfi la proprietà di cui sopra.
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