Cos'è un funtore non banale nella teoria delle categorie?

Nella teoria delle categorie, un funtore è chiamato "non banale" o "non sostenibile" se non è una relazione di equivalenza. In altre parole, se il funtore non preserva l'uguaglianza dei morfismi, allora non è banale.

Ad esempio, consideriamo la categoria degli insiemi, dove i morfismi sono funzioni tra insiemi. Il funtore identità, che mappa semplicemente ciascun insieme a se stesso e ciascuna funzione a se stessa, è un funtore banale perché preserva tutti i morfismi. D'altra parte, il funtore che mappa ogni insieme al suo powerset e ogni funzione al suo inverso non è banale perché non preserva l'uguaglianza dei morfismi.

In generale, un funtore non banale può essere pensato come una trasformazione "non banale" tra categorie, che modifica in qualche modo la struttura sottostante della categoria.