Esattori nella teoria delle categorie: una guida per comprendere l'esattezza dei funtori

Gli esattori sono un modo per definire una nozione di "esattezza" per un funtore, che può essere utilizzata per studiare le proprietà del funtore.

Un esattore è una coppia di un funtore e una trasformazione naturale tra esso e il funtore di identità. L'idea è che il funtore sia "esatto" nel senso che preserva un qualche tipo di struttura, come un gruppo o una struttura ad anello, e la trasformazione naturale è un modo per misurare quanto bene il funtore preserva questa struttura.

Ad esempio, se abbiamo un funtore F: Grp -> Ab, dove Grp è la categoria dei gruppi e Ab è la categoria dei gruppi abeliani, allora un esattore per F potrebbe essere una coppia (F, ε), dove ε è una trasformazione naturale da F al funtore identità Id_Ab, tale che ε(g) sia un omomorfismo da F(g) a g per tutti gli oggetti g in Grp. Ciò significa che F preserva la struttura di gruppo degli oggetti in Grp, e ε misura quanto bene F preserva questa struttura.

Gli esattori hanno molte applicazioni nella teoria delle categorie, incluso lo studio dei limiti e dei colimiti, la definizione di funtori derivati e lo studio di trasformazioni naturali tra funtori. Sono anche strettamente correlati ad altri concetti importanti nella teoria delle categorie, come le sequenze esatte e i triangoli.