Разумевање Вајерштрасове функције: Водич за непрекидне функције нигде

Вајерштрасова функција је математичка функција која се користи за дефинисање концепта континуиране функције. Увео га је Карл Вајерштрас, немачки математичар, крајем 19. века. Функција је дефинисана на следећи начин:ӕӕф(к) = 0 ако је к рационално (к = а/б, где су а и б цели бројеви и б није нула)ӕӕф(к) = 1/к ако је к ирационално ( к се не може изразити као однос целих бројева)ӕӕ Вајерштрасова функција је пример нигде непрекидне функције, што значи да нема тачака у којима је непрекидна. То је зато што функција стално мења своју вредност како се к мења и не постоје тачке у којима је функција дефинисана у сваком тренутку.ӕӕВајерштрассова функција има неколико важних својстава, укључујући:ӕӕ1. Она је непрекидна у свакој тачки рационалних бројева, али ни у једној тачки у ирационалним бројевима.ӕ2. Може се разликовати у свакој тачки у рационалним бројевима, али ни у једној тачки у ирационалним бројевима.ӕ3. Има коначну границу у свакој тачки рационалних бројева, али нема коначну границу ни у једној тачки у ирационалним бројевима.ӕ4. Ограничена је изнад и одоздо функцијама 0 и 1/к, респективно.ӕӕ Вајерштрасова функција има много примена у математици, посебно у области реалне анализе. Користи се за демонстрирање постојања нигде непрекидних функција, које су функције које немају тачке у којима су непрекидне. Такође има примену у другим областима математике, као што су топологија и теорија мере.