Шта је Моноид? Дефиниција, примери и апликације

Моноид је математичка структура која се састоји од скупа елемената и операције која комбинује те елементе на начин који задовољава одређена својства.ӕӕДа будемо прецизнији, моноид је дефинисан на следећи начин:ӕӕ* Скуп `М` елемената, који може бити било шта (бројеви, симболи, итд.).ӕ* Операција `*` која узима два елемента `а` и `б` из `М` и враћа други елемент `а * б` такође у `М`. ӕӕСвојства која операција мора да задовољи су:ӕӕ* Асоцијативност: `(а * б) * ц = а * (б * ц)` за све `а`, `б` и `ц` у `М`. То значи да редослед којим извршавамо операцију није битан.ӕ* Идентитет: Постоји елемент `е` у `М` такав да је `а * е = е * а = а` за сва `а` у ` М`. Овај елемент се назива елемент идентитета и служи као "неутрални" елемент за операцију.ӕ* Инверзно: За сваки елемент `а` у `М`, постоји други елемент `б` у `М` такав да ` а * б = б * а = е`. Овај елемент `б` се назива инверзним од `а` и поништава ефекат `а` када се комбинује са њим.ӕӕНа пример, скуп целих бројева са операцијом сабирања формира моноид:ӕӕ* Скуп `М ` је скуп свих целих бројева.ӕ* Операција `*` је сабирање.ӕ* Елемент идентитета је 0, јер је `а + 0 = а` за било који цео број `а`.ӕ* Инверзни елемент елемента `а ` је `-а`, јер `а + (-а) = 0`.ӕӕДруги пример моноида је скуп свих низова знакова са операцијом конкатенације:ӕӕ* Скуп `М` је скуп свих низови знакова.ӕ* Операција `*` је конкатенација.ӕ* Елемент идентитета је празан стринг, јер `а + "" = а` за било који стринг `а`.ӕ* Инверзни елемент елемента `а` је низ добијен преокретом `а`, јер `а + ("" + а) = а + а = е`.ӕӕМоноиди се користе у многим областима математике и рачунарства, као што су апстрактна алгебра, теорија група и функционална програмирање. Они обезбеђују начин да се опише симетрија и структура у различитим математичким објектима и системима, и имају многе примене у криптографији, теорији кодирања и другим областима рачунарске науке.