ทำความเข้าใจกับตัวสับเปลี่ยนของเมทริกซ์

ตัวสับเปลี่ยนของเมทริกซ์ A และ B สองตัว ซึ่งแสดงด้วย [A,B] คือเมทริกซ์ที่แสดงถึงผลลัพธ์ของการนำการดำเนินการของเมทริกซ์หนึ่งไปใช้กับอีกเมทริกซ์หนึ่ง โดยเฉพาะ [A,B] = AB -BA กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันคือความแตกต่างระหว่างผลคูณของ A และ B และผลิตภัณฑ์ของ B และ A.

ตัวอย่างเช่น หากเรามีเมทริกซ์สองตัว A = [a11, a12; a21, a22] และ B = [b11, b12; b21, b22] จากนั้นตัวสับเปลี่ยน [A,B] = AB -BA จะเป็น:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

ตัวสับเปลี่ยนของเมทริกซ์สองตัวสามารถใช้เพื่อวัดความล้มเหลวของผลิตภัณฑ์เมทริกซ์เพื่อสับเปลี่ยน ถ้าตัวสับเปลี่ยนเป็นศูนย์ ผลคูณเมทริกซ์จะสับเปลี่ยน ซึ่งหมายความว่าลำดับที่เราคูณเมทริกซ์นั้นไม่สำคัญ ถ้าตัวสับเปลี่ยนไม่เป็นศูนย์ ผลคูณเมทริกซ์จะไม่สับเปลี่ยน และลำดับที่เราคูณเมทริกซ์ก็มีความสำคัญ โดยสรุปแล้ว ตัวสับเปลี่ยนของเมทริกซ์สองตัวเป็นตัววัดว่าผลิตภัณฑ์เมทริกซ์สับเปลี่ยนได้ดีเพียงใด และสามารถ ใช้เพื่อตรวจสอบว่าผลิตภัณฑ์เป็นแบบสับเปลี่ยนหรือไม่