ทำความเข้าใจการคูณล่วงหน้าในพีชคณิตเชิงเส้น

การคูณล่วงหน้าเป็นการดำเนินการเมทริกซ์ที่จะคูณแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์หนึ่งด้วยองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์อื่น และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ "·" หรือ "⋅" มีชื่อเรียกอีกอย่างว่าผลิตภัณฑ์ฮาดามาร์ดหรือผลิตภัณฑ์ Schur ในรายละเอียดเพิ่มเติม หากเรามีเมทริกซ์ A และ B สองตัว การคูณ AB ล่วงหน้าของพวกมันจะถูกนิยามดังนี้:

(AB)ij = ∑k=1n AkijBkj

โดยที่ A คือเมทริกซ์ n x n , B คือเมทริกซ์ขนาด nxm และ n และ m คือขนาดของเมทริกซ์ ผลลัพธ์ที่ได้คือเมทริกซ์ขนาด n x m โดยที่แต่ละองค์ประกอบที่ตำแหน่ง (i, j) คือผลบวกของผลคูณขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของ A และ B การคูณล่วงหน้ามีคุณสมบัติที่เป็นประโยชน์บางประการ เช่น:

* (AB)B = A( BB) = A(A^T) = AA^T
* (AB)^T = B^T A^T = (BA)^T
* (AB) + (AC) = (A+C)B
* (AB) - ( AC) = A(B-C)

การคูณล่วงหน้าใช้ในหลายพื้นที่ของพีชคณิตเชิงเส้น เช่น การสลายตัวของค่าลักษณะเฉพาะ การสลายตัวของค่าเอกพจน์ และการแยกตัวประกอบเมทริกซ์ นอกจากนี้ยังใช้ในการเรียนรู้ของเครื่อง การประมวลผลสัญญาณ และสาขาอื่นๆ ที่ใช้เมทริกซ์เพื่อแสดงข้อมูลหรือการแปลง