Coproduct ในทฤษฎีหมวดหมู่คืออะไร?
ผลิตภัณฑ์ร่วมคือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สรุปแนวคิดของผลิตภัณฑ์ในหมวดหมู่หนึ่งๆ มันเป็นวิธีการรวมวัตถุสองชิ้นในหมวดหมู่หนึ่งให้เป็นวัตถุใหม่ คล้ายกับวิธีที่ผลคูณคาร์ทีเซียนรวมสองชุดเข้าเป็นชุดใหม่ ในหมวดหมู่ C ผลิตภัณฑ์ร่วมคือคู่ของวัตถุ A และ B ร่วมกับมอร์ฟิซึม (เรียกว่า "โคโปรเจ็กชัน") จาก A ถึง B ซึ่งจะทำให้ทุกมอร์ฟิซึมจาก A ถึง C สามารถแยกตัวประกอบได้ผ่านการฉายภาพร่วมนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลูกศรทุกลูกจาก A ถึง C สามารถเขียนเป็นผลประกอบของการฉายภาพร่วมแล้วตามด้วยลูกศรอื่นๆ ต่อไปนี้คือคุณสมบัติที่สำคัญบางประการของ coproducts:
1 การดำรงอยู่: ผลิตภัณฑ์ร่วมมีอยู่ในหมวดหมู่ใดๆ ที่มีวัตถุเทอร์มินัล (วัตถุที่ไม่ใช่แหล่งที่มาของลูกศรใดๆ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทุกหมวดหมู่มีวัตถุปลายทาง ซึ่งมักจะแสดงด้วย 1 หรือ I.
2 สมบัติสากล: การฉายภาพร่วมจาก A ถึง B ถือเป็นสากลในแง่ที่ว่านี่เป็นวิธีที่ "ดีที่สุด" ในการแยกลูกศรจาก A ถึง C ถ้าจะให้แม่นยำยิ่งขึ้น หากมีมอร์ฟิซึ่ม 2 แบบจาก A ถึง C ก็สามารถแยกตัวประกอบได้โดยใช้ การฉายภาพร่วมและอีกอันไม่สามารถทำได้ 3. ความเชื่อมโยง: ผลิตภัณฑ์ร่วมเป็นแบบเชื่อมโยง ซึ่งหมายความว่า (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C) ซึ่งหมายความว่าเราสามารถรวมผลิตภัณฑ์ร่วมหลายรายการเข้าด้วยกันในลำดับใดก็ได้ที่เราต้องการ
4 การกระจายตัว: ผลิตภัณฑ์ร่วมกระจายอยู่เหนือผลิตภัณฑ์ ซึ่งหมายความว่า A ⊕ (B × C) = (A ⊕ B) × (A ⊕ C) สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถใช้ผลิตภัณฑ์ร่วมเพื่อสร้างโครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นจากโครงสร้างที่เรียบง่ายกว่าได้
ผลิตภัณฑ์ร่วมถูกนำมาใช้ในคณิตศาสตร์หลายแขนง รวมถึงทฤษฎีหมวดหมู่ พีชคณิตคล้ายคลึงกัน และทฤษฎีมัด พวกมันให้วิธีการสร้างวัตถุใหม่โดยการรวมวัตถุที่มีอยู่ และพวกมันมีคุณสมบัติและการใช้งานที่น่าสนใจมากมาย
ฉันชอบวิดีโอนี้
ฉันไม่ชอบวิดีโอนี้
รายงานข้อผิดพลาดของเนื้อหา
share
