Hàm số không cần thiết trong lý thuyết danh mục là gì?

Trong lý thuyết phạm trù, một hàm số được gọi là "không tầm thường" hoặc "không thể đứng vững" nếu nó không phải là một quan hệ tương đương. Nói cách khác, nếu functor không bảo toàn sự đẳng thức của các hình thái thì nó không tầm thường.

Ví dụ, hãy xem xét phạm trù của các tập hợp, trong đó các hình thái là các hàm giữa các tập hợp. Hàm tử nhận dạng, đơn giản ánh xạ mỗi tập hợp tới chính nó và mỗi hàm tới chính nó, là một hàm tử tầm thường vì nó bảo toàn mọi hình thái. Mặt khác, hàm tử ánh xạ từng tập hợp với tập lũy thừa của nó và mỗi hàm theo nghịch đảo của nó là không tầm thường vì nó không bảo toàn sự đẳng thức của các hình thái.

Nói chung, một hàm tử không tầm thường có thể được coi là một phép biến đổi "không tầm thường" giữa các danh mục, làm thay đổi cấu trúc cơ bản của danh mục theo một cách nào đó.