Hiểu về tính phân biệt phụ trong Lý thuyết loại và Lý thuyết loại đồng luân

Trong bối cảnh lý thuyết loại và lý thuyết loại đồng luân, một khái niệm đã được đưa ra bởi Vladimir Voevodsky và các cộng tác viên của ông là khái niệm "tính phân biệt phụ".

Nói một cách đại khái, tính khác biệt của một loại là thước đo mức độ nổi bật của loại đó so với các loại khác theo nghĩa là nó có nhiều cấu trúc không được chia sẻ với các loại khác. Ví dụ: loại `Nat` (số tự nhiên) có tính phân biệt cao vì nó có nhiều cấu trúc không giống với các loại khác, chẳng hạn như thực tế là nó là một trật tự tuyến tính và nó có hàm kế thừa.

Trên mặt khác, loại `Set` (bộ) ít đặc biệt hơn vì nó không có nhiều cấu trúc không giống với các loại khác. Trên thực tế, `Set` thường được coi là một loại "phổ quát" theo nghĩa là nó có thể được sử dụng để mã hóa bất kỳ loại nào khác, điều đó có nghĩa là nó không có nhiều cấu trúc duy nhất cho chính nó.

Tính phân biệt phụ của một loại là thước đo mức độ giống của loại này với các loại khác theo nghĩa là nó có ít cấu trúc hơn và không được chia sẻ với các loại khác. Ví dụ: loại `Fin Nat` (số tự nhiên hữu hạn) ít đặc biệt hơn `Nat` vì nó có ít cấu trúc hơn không giống với các loại khác. Trên thực tế, `Fin Nat` có thể được coi là một "trường hợp đặc biệt" của `Nat` theo nghĩa nó là tập hợp con của `Nat` và có ít phần tử hơn.

Độ phân biệt phụ của một loại có thể được đo bằng cách sử dụng nhiều loại của các phương thức, chẳng hạn như kích thước của kiểu, số lượng cấu trúc mà kiểu đó có, v.v. Ví dụ: kiểu `Fin Nat` ít khác biệt hơn `Nat` vì nó có kích thước nhỏ hơn (nó chỉ chứa hữu hạn số tự nhiên) và nó có ít cấu trúc hơn (nó không có chức năng kế tiếp).

Nói chung, khái niệm về tính phân biệt phụ rất hữu ích để hiểu mối quan hệ giữa các loại khác nhau trong lý thuyết loại và nó có thể được sử dụng để suy luận về các thuộc tính của loại và mối quan hệ của chúng với các loại khác. Ví dụ, người ta có thể sử dụng khái niệm tính phân biệt phụ để chứng minh rằng một số loại nhất định "về cơ bản" giống với các loại khác hoặc để chỉ ra rằng một số loại nhất định "về cơ bản" khác biệt với các loại khác.