Không gian McCartan: Tổng quát hóa các đa tạp cho hình học không giao hoán

McCartan là một cấu trúc toán học khái quát hóa khái niệm đa tạp. Nó được John McCartan giới thiệu vào những năm 1990 như một cách để nghiên cứu hình học không giao hoán và hình học của không gian với nhóm cơ bản không tầm thường.

A Không gian McCartan là một không gian tôpô được trang bị một loạt các vòng, được gọi là McCartan bó, mã hóa hình học của không gian. Bó McCartan là sự tổng quát hóa của bó các hàm trên một đa tạp, và nó bao gồm cấu trúc bổ sung chẳng hạn như khái niệm "vi phân" không nhất thiết phải giao hoán.

Một trong những đặc điểm chính của không gian McCartan là chúng có thể có một không- nhóm cơ bản tầm thường, có nghĩa là không gian không nhất thiết phải được kết nối với đường dẫn. Điều này trái ngược với đa tạp, luôn được kết nối với nhau. Nhóm cơ bản không tầm thường của không gian McCartan cho phép nghiên cứu các cấu trúc hình học kỳ lạ hơn, chẳng hạn như các cấu trúc được tìm thấy trong hình học không giao hoán và hình học của các không gian với nhóm cơ bản không tầm thường. Không gian McCartan đã tìm thấy các ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của các lĩnh vực, bao gồm hình học đại số, lý thuyết số và vật lý toán học. Chúng cung cấp một cách để nghiên cứu các đối tượng hình học không nhất thiết phải giao hoán, và chúng đã được sử dụng để nghiên cứu nhiều vấn đề khác nhau, từ hình học của các đa phân đại số đến nghiên cứu các lý thuyết trường lượng tử.