Monoid là gì? Định nghĩa, ví dụ và ứng dụng

Monoid là một cấu trúc toán học bao gồm một tập hợp các phần tử và một phép toán kết hợp các phần tử đó theo cách thỏa mãn các thuộc tính nhất định.

Nói cụ thể hơn, monoid được định nghĩa như sau:

* Một tập hợp `M` gồm các phần tử, có thể là bất kỳ thứ gì (số, ký hiệu, v.v.).
* Một thao tác `*` lấy hai phần tử `a` và `b` từ `M` và trả về một phần tử khác `a * b` cũng trong `M`.

Các thuộc tính mà thao tác phải thỏa mãn là:

* Tính kết hợp: `(a * b) * c = a * (b * c)` với tất cả `a`, `b` và `c` trong `M`. Điều này có nghĩa là thứ tự chúng ta thực hiện thao tác không quan trọng.
* Đồng dạng: Tồn tại một phần tử `e` trong `M` sao cho `a * e = e * a = a` với mọi `a` trong ` M`. Phần tử này được gọi là phần tử nhận dạng và nó đóng vai trò là phần tử "trung tính" cho phép toán.
* Nghịch đảo: Đối với mỗi phần tử `a` trong `M`, tồn tại một phần tử `b` khác trong `M` sao cho ` a * b = b * a = e`. Phần tử `b` này được gọi là nghịch đảo của `a`, và nó hoàn tác tác dụng của `a` khi kết hợp với nó.

Ví dụ: tập hợp các số nguyên với phép cộng tạo thành một monoid:

* Tập hợp `M ` là tập hợp của tất cả các số nguyên.
* Phép toán `*` là phép cộng.
* Phần tử đồng nhất là 0, bởi vì `a + 0 = a` đối với mọi số nguyên `a`.
* Nghịch đảo của một phần tử `a ` là `-a`, vì `a + (-a) = 0`.

Một ví dụ khác về monoid là tập hợp tất cả các chuỗi ký tự có phép nối:

* Tập `M` là tập hợp của tất cả chuỗi ký tự.
* Thao tác `*` là nối.
* Phần tử nhận dạng là chuỗi trống, bởi vì `a + "" = a` đối với bất kỳ chuỗi `a`.
* Nghịch đảo của một phần tử `a` là chuỗi thu được bằng cách đảo ngược `a`, bởi vì `a + ("" + a) = a + a = e`.

Monoids được sử dụng trong nhiều lĩnh vực toán học và khoa học máy tính, chẳng hạn như đại số trừu tượng, lý thuyết nhóm và hàm số lập trình. Chúng cung cấp một cách để mô tả tính đối xứng và cấu trúc trong các đối tượng và hệ thống toán học khác nhau, đồng thời chúng có nhiều ứng dụng trong mật mã, lý thuyết mã hóa và các lĩnh vực khác của khoa học máy tính.