Tìm hiểu hàm Weierstrass: Hướng dẫn về các hàm liên tục không ở đâu

Hàm Weierstrass là một hàm toán học được sử dụng để định nghĩa khái niệm hàm liên tục. Nó được giới thiệu bởi Karl Weierstrass, một nhà toán học người Đức, vào cuối thế kỷ 19. Hàm được định nghĩa như sau:

f(x) = 0 nếu x là hữu tỷ (x = a/b, trong đó a và b là số nguyên và b khác 0)

f(x) = 1/x nếu x là vô tỷ ( x không thể được biểu diễn dưới dạng tỷ lệ của các số nguyên)

Hàm Weierstrass là một ví dụ về hàm không liên tục, nghĩa là nó không có điểm nào tại đó nó liên tục. Điều này là do hàm liên tục thay đổi giá trị khi x thay đổi và không có điểm nào tại đó hàm được xác định mọi lúc.

Hàm Weierstrass có một số thuộc tính quan trọng, bao gồm:

1. Nó liên tục tại mọi điểm trong các số hữu tỷ, nhưng không liên tục tại bất kỳ điểm nào trong các số vô tỷ.
2. Nó khả vi tại mọi điểm trong các số hữu tỷ, nhưng không khả vi tại bất kỳ điểm nào trong các số vô tỷ.
3. Nó có giới hạn hữu hạn tại mọi điểm trong số hữu tỷ, nhưng không có giới hạn hữu hạn tại bất kỳ điểm nào trong số vô tỷ.
4. Nó được giới hạn bên trên và bên dưới bởi các hàm 0 và 1/x tương ứng.

Hàm Weierstrass có nhiều ứng dụng trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực phân tích thực. Nó được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của các hàm không liên tục, là các hàm không có điểm mà chúng liên tục. Nó cũng có ứng dụng trong các lĩnh vực khác của toán học, chẳng hạn như cấu trúc liên kết và lý thuyết đo lường.