Tính bất khả quy trong lý thuyết danh mục là gì?

Trong lý thuyết phạm trù, một hàm số được gọi là khả quy nếu nó không thể phân rã thành tích của các hàm số đơn giản hơn. Nói cách khác, một functor là khả quy nếu nó không thể được biểu diễn dưới dạng một tổ hợp của các functor "đơn giản hơn", trong đó độ đơn giản được đo bằng số lượng hình thái có liên quan đến tổ hợp đó.

Ví dụ, hãy xem xét phạm trù của các tập hợp, trong đó hình thái duy nhất là các hàm giữa các bộ. Hàm tử nhận dạng, đơn giản trả về tập hợp không thay đổi, là hàm hàm bất khả quy vì nó không thể phân tách thành tích của các hàm tử đơn giản hơn. Mặt khác, functor ánh xạ mỗi tập hợp tới tập hợp lũy thừa của nó không phải là tối giản vì nó có thể được phân tách thành tích của các hàm tử đơn giản hơn: functor ánh xạ từng tập hợp tới tập hợp cơ bản của nó, và functor ánh xạ từng tập hợp tới tập lũy thừa của nó .

Tính rút gọn là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết phạm trù vì nó liên quan chặt chẽ đến khái niệm đối tượng "nguyên thủy" hoặc đối tượng "cơ bản". Trong bất kỳ danh mục nào, có một số đối tượng nhất định không thể phân tách thành các đối tượng đơn giản hơn và những đối tượng này thường được gọi là nguyên thủy hoặc cơ bản. Tương tự, có một số hàm số nhất định không thể phân tách thành các hàm số đơn giản hơn, và những hàm số này thường được gọi là hàm bất khả quy.

Tóm lại, tính bất khả quy là một khái niệm trong lý thuyết phạm trù đề cập đến ý tưởng rằng một số hàm hàm không thể bị phân tách thành các hàm hàm đơn giản hơn. Nó liên quan chặt chẽ đến khái niệm về các đối tượng nguyên thủy hoặc cơ bản và là một khái niệm quan trọng để hiểu cấu trúc của các phạm trù.